Emmy Noether

Hoy es el 133 aniversario del nacimiento de esta gran matemática… Entre sus aportaciones destaca en el campo del álgebra.

NIELS HENRIK ABEL

¿QUIÉN FUE?

-Fue un matemático noruego , célebre fundamentalmente por haber probado que no hay ninguna fórmula para hallar los ceros de todos los polinomios (es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables constantes) (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos) generales de grados n _> 5 en términos de sus coeficientes y en el de las funciones elípticas, ámbito en el que desarrolló un método general para la construcción de funciones periódicas recíprocas de la integral elíptica

-El primer trabajo relevante de Abel consistió en demostrar la imposibilidad de resolver las ecuaciones de quinto grado (del tipo Ax5 + Bx4 + Cx3 + Dx2 + Ex + F = 0) usando raíces . Fue esta, en 1824 su primera investigación publicada, aunque la demostración era difícil y abstrusa. Posteriormente se publicó de modo más elaborado en el primer volumen del Diario de Crelle

-Este proyecto fue respaldado con entusiasmo por Abel, que fue en gran parte responsable del éxito de la iniciativa. De Berlín se trasladó a Friburgo en donde llevó a cabo su brillante investigación sobre la teoría de las funciones, en la que estudió sobre todo la elíptica y la hiperelíptica, e introduciendo un nuevo tipo de funciones que hoy se conocen como funciones abelianas, y que fueron objeto de un profundo estudio por su parte.

-Murió a los 26 años, de este genio de las matemáticas terminó con una brillante y prometedora carrera.
Sus investigaciones aclararon algunos de los aspectos más oscuros del análisis y abrieron nuevos campos de estudio, posibilitando numerosas ramificaciones en el conocimiento matemático y alcanzando un notable progreso. La parte más profunda y original del trabajo de Abel se publicó en el Diario de Crelle.
Una edición más completa de sus trabajos se publicó en 1881 por parte de Ludwing Sylow y Sophus Lie. El adjetivo abeliano, que se ha popularizado en los escritos matemáticos deriva de su nombre y suele indicarse en minúscula.

HONORES:

-En su honor llamarle «Abel» a un cráter de impacto lunar.
-En el año 2002 se instituyó en su honor el prestigioso premio Abel, el cual se otorga cada año a los matemáticos más destacados.
🙂

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY

-Cauchy fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones (es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto,
cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: “1,2,3”, “1,3,2”, “2,1,3”, “2,3,1”, “3,1,2” y “3,2,1”), contribuyendo de manera medular a su desarrollo.
También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.

-Comenzó a dedicarse a la investigación científica intensiva y a la publicación de varias obras importantes en rápida sucesión.
La principal conclusión de este período fue la demostración del teorema del número poligonal de Fermat ( dice que cada número natural es suma de a lo máximo n números poligonales. Cada número natural puede ser escrito como la suma de tres o menos números triangulares, o cuatro o menos números cuadrados, o cinco o menos números pentagonales), al que se habían dedicado sin éxito ilustres matemáticos contemporáneos como Gauss.

-Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia.
Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangente.

-Los trabajos de Cauchy, aunque algunas veces sobreestimados (sobre todo en las atribuciones de resultados), poseen una visión unificadora.
Cauchy expresó su creatividad no solo en los fundamentos del análisis real y complejo, y en la incipiente teoría de grupos de permutaciones, sino también en el desarrollo de la física matemática y la mecánica teórica, donde destaca en la teoría de la elasticidad y en la teoría de la luz.
Investigaciones donde contribuyó a su desarrollo con las nuevas técnicas matemáticas de las transformadas de Fourier, diagonalización of matrices, y el cálculo de residuos.

-Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esa investigación once años después.
Publicó un total de 789 trabajos, entre los que se encuentran el concepto de límite, los criterios de convergencia las fórmulas(En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a_1 + a_2 +a_3 + a_4 + a_5 + a_6) y los teoremas de integración (es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños) y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann. Su extensa obra introdujo y consolidó el concepto fundamental de rigor matemático.

HONORES :

Existe un cráter lunar con su nombre: el cráter Cauchy.
🙂

ÉVARISTE GALOIS

¿QUIÉN FUE?

-Évariste Galois fue un matemático francés. Mientras aún era un adolescente, fue capaz de determinar la condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea resuelto por radicales.

Dio solución a un problema abierto mediante el nuevo concepto de grupo de permutaciones :
·1 Su trabajo ofreció las bases fundamentales para la teoría que lleva su nombre, una rama principal del álgebra abstracta. Fue el primero en utilizar el término «grupo» en un contexto matemático. La teoría constituye una de las bases matemáticas de la modulación CDMA utilizada en comunicaciones y, especialmente, en los Sistemas de navegación por satélite, como GPS, GLONASS, etc.

-Galois profundizó considerablemente en el estudio del álgebra, una materia que entonces todavía tenía muchas lagunas y cuestiones oscuras. Y así llegó a conocer la cantidad de problemas sin resolver que encerraba aquella disciplina. Problemas que pasaron a ocupar la mayor parte de su tiempo de estudio.

-Sus avances más notables fueron los relacionados con el desarrollo de una teoría nueva cuyas aplicaciones desbordaban con mucho los límites de las ecuaciones algebraicas: la teoría de grupos (la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas)

-En el renacimiento italiano se encuentra la fórmula para resolver la ecuación general de cuarto grado. Es una expresión en las que solamente intervienen los coeficientes de la ecuación y raíces hasta de exponente cuarto. Este resultado corrobora lo que sucede con las ecuaciones de grado 2 y 3 (en cuya solución general hay raíces de exponentes 2 y 3)

-Acababa el siglo XVIII cuando Gauss (1777-1855) presentó en 1799 su tesis doctoral en la que aparecía el ‘teorema fundamental del álgebra’ que establece de forma rigurosa que toda ecuación polinómica con coeficientes reales se puede descomponer de forma única como producto de factores de primero y segundo grados, y en consecuencia que toda ecuación de ese tipo tiene al menos una raíz (real o imaginaria).
Este era un resultado general pero que no establecía el método efectivo de hallar esas raíces

-Los datos anteriores era una hipótesis razonable pensar que una ecuación de quinto grado tendría cinco soluciones reales o imaginarias, diferentes o repetidas; pero no se había encontrado la fórmula para encontrarlas, aunque, caso de que la hubiera, también era razonable suponer que contendría raíces de grado cinco.
Y, generalizando un poco, que las de grado seis se resolverían con raíces sextas, las de grado siete con raíces de ese mismo grado y así sucesivamente. Era cuestión de ponerse a trabajar para encontrar la solución de la ecuación de quinto grado y después seguir.
Se dedicaron a ello muchos grandes matemáticos de la época, como Lagrange , Cauchy y sobre todo Ruffini que fue el que más avanzó hacia el resultado final, aunque no llegó a completarlo.
Esa sería la labor de Abel que el año 1823 (cuando tenía 21 años) obtuvo el resultado definitivo:

·La ecuación general de quinto grado no era resoluble por radicales, ni de índice cinco ni de ningún otro. Con eso se daba un paso importante al cerrar el problema de la búsqueda de fórmulas de resolución. Todavía quedaban otros aspectos importantes por abordar, en particular las condiciones que debían cumplir ecuaciones particulares para que sí se pudieran resolver.

-La forma en que Abel ‘resolvió’ el problema de la resolución de la ecuación general de quinto grado demostrando su imposibilidad es la primera vez en la historia que un problema tenía este final, y sería el inicio de una larga lista de imposibilidades (con la destacada de la indecibilidad del lenguaje aritmético, establecido por Gödel en 1931). Hasta ese momento cuando un problema no se sabía resolver se consideraba que es que no se seguía el camino apropiado o que no se tenían los instrumentos necesarios para resolverlo, pero se tenía el convencimiento de que antes o después se lograría resolver.
La contribución genial de Galois a la teoría de resolución de ecuaciones fue la determinación de las condiciones en las que una ecuación es resoluble por radicales, lo que da como consecuencia que para todo n > 4 haya ecuaciones polinómicas que no son resolubles por radicales (si existe una cadena finita de subgrupos).

-Galois sobre resolubilidad por radicales de una ecuación tiene que ver con una serie de subgrupos (de un tipo especial llamados normales) del grupo de permutaciones, cada uno subgrupo del anterior, asociados a lo que llama Galois resolventes de la ecuación. Y este resultado es que una ecuación es resoluble por radicales si y solo si los índices de todas las etapas de esa sucesión de subgrupos son números primos.

CARL GUSTAV JAKOB JACOBI

¿QUIÉN FUE?
-Carl Gustav Jacob Jacobi fue un matemático alemán.

-Autor muy prolífico, contribuyó en varios campos de la matemática, principalmente en el área de las funciones elípticas, el álgebra, la teoría de números y las

ecuaciones diferenciales.

-Para cuando finalmente empezó sus estudios universitarios, ya había leído y asimilado los trabajos de eminentes matemáticos como Euler y Lagrange, e incluso había empezado a investigar una forma de resolver ecuaciones quínticas, por lo que el nivel de las clases le pareció bajo y siguió estudiando por su cuenta fuera de las aulas.
En 1824, a pesar de ser judío, se le ofreció una plaza como profesor en una prestigiosa escuela de enseñanza secundaria de Berlín.

-Jacobi tenía la reputación de ser un excelente maestro, atraía a muchos estudiantes.
Introdujo un método de seminario para enseñar a los estudiantes los últimos avances matemáticos.

-Publicó Fundamenta nova theoria functionum ellipticarum trabajo en el que asentó nuevas bases para el análisis de funciones elípticas, fundamentado en el uso de la función theta de Jacobi, que había desarrollado recientemente y que fue nombrada en su honor.

-Jacobi estableció con Niels Henrik Abel la Teoría de las funciones Elípticas(hablando toscamente, una función definida sobre el plano complejo y periódica en ambas direcciones. Las funciones elípticas pueden ser vistas como generalizaciones de las funciones trigonométricas [las cuales únicamente tienen la periodicidad en una dirección, paralela a la recta real]. Históricamente, las funciones elípticas fueron descubiertas como las funciones inversas de las integrales elípticas; estas fueron estudiadas en relación con el problema de la longitud de arco en una elipse, de donde el nombre se deriva)
Demostró la solución de integrales elípticas mediante la aplicación de las funciones, series exponenciales introducidas por él mismo.

-Desarrolló los determinantes funcionales, llamados después jacobianos, y las ecuaciones diferenciales

-En 1834 probó que si una función uni valuada de una variable es doblemente periódica entonces la razón de los periodos es imaginaria.

-En 1831 contrajo matrimonio con Marie Schwinck.
Dos años más tarde, su hermano Moritz se fue a vivir también a Königsberg. La influencia de su hermano mayor le causó un gran interés por la física.
Durante esta época trabajó principalmente en ecuaciones diferenciales y determinantes, estudiando, entre otros asuntos, el concepto que hoy en día se conoce como jacobiano.
Publicó el fruto de estos años en sobre la formación y propiedades de los determinantes.

CURIOSIDAD: (MUY CURIOSA) 🙂

El cráter Jacobi fue nombrado en su honor.
🙂

LEOPOLD KROMECKER

¿QUIÉN FUE?

-Fue un matemático y lógico alemán.

-En 1845 se doctoró en la Universidad de Berlín y en ese año escribió su disertación sobre teoría de números, dando una formulación especial a las unidades en ciertos campos numéricos algebraicos.

-Matemático y lógico , Kronecker defendía que la aritmética y el análisis deben estar fundados en los números enteros prescindiendo de los irracionales e imaginarios.

-En su memoria de 1853 sobre la resolución algebraica de ecuaciones, Kronecker extendió el trabajo de Évariste Galois sobre la teoría de ecuaciones.

-También contribuyó al concepto de continuidad, reconstruyendo la forma de los números irracionales en los números reales. En el análisis, Kronecker rechazó la formulación de su colega Karl Weierstrass de una función continua que no admite derivada en ninguno de sus puntos

-Sobre la solución de la ecuación general de quinto grado, Kronecker resolvió la ecuación quíntica usando teoría de grupos (En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas).

-El finitismo (es una forma extrema de constructivismo, de acuerdo a la cual un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de los números naturales en un número de pasos finitos) de Kronecker lo convirtió en un precursor del intuicionismo en los fundamentos de la matemática.

¿PORQUE FUE RECONOCIDO?

-La delta de Kronecker y el producto de Kronecker le deben su nombre, al igual que el teorema de Kronecker-Weber, el teorema de Kronecker en teoría de números y el lema de Kronecker. Kronecker es un matemático muy reconocido por su teoría de ecuaciones

GEORGE BOOLE

¿QUIÉN FUE?:

-George Boole fue un matemático y lógico británico.

-Se podría decir que es el padre de las operaciones lógicas y gracias a su álgebra hoy en día es posible manipulas operaciones lógicas

¿QUÉ INVENTO?

-Como inventor del álgebra de Boole, que marca los fundamentos de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación.

-El gran descubrimiento de Boole fue aplicar una serie de símbolos a operaciones lógicas y hacer que estos símbolos y operaciones –por elección cuidadosa– tuvieran la misma estructura lógica que el álgebra convencional.
En el álgebra de Boole, los símbolos podían manipularse según reglas fijas que producirían resultados lógicos.

-En 1854 publicó “An Investigation of the Laws of Thought” en el que desarrollaba un sistema de reglas que le permitían expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos.

-Se podría decir que es el padre de las operaciones lógicas y gracias a su álgebra hoy en día es posible manipular operaciones lógicas

GRANDES EXITOS :

-En 1857, fue nombrado miembro de la Royal Society de Londres.
Entre todas sus obras, destaca el libro de ” Investigación de las leyes del pensamiento ” ( 1854 ).
También publicó dos textos, ” Tratado de las ecuaciones diferenciales ” ( 1859 ) y ” Tratado sobre el cálculo de diferencias finitas ” ( 1860 ), ampliamente utilizados. Su álgebra es, esencialmente, la base de lo que se suele llamar ( incorrectamente ) las nuevas Matemáticas.

PIERRE DE FERMAT

¿QUIEN FUE?

-Pierre de Fermat fue un jurista y matemático francés apodado por Eric Temple Bell con el sobrenombre de «príncipe de los aficionados».

-Fermat fue junto con René Descartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII.

INVESTIGACIONES MATEMATICAS :

-Las primeras aportaciones de Pierre de Fermat datan de 1629, cuando abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio de Perga relativas a los lugares geométricos; a tal efecto desarrollaría, contemporánea e independientemente de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas, de capital importancia

-Fermat se sitúa asimismo entre los matemáticos que dieron el primer impulso al cálculo infinitesimal, y fue el primero en estudiar las cuestiones de máximo y mínimo con el método que hoy llamamos de las “derivadas”. Diseñó un algoritmo de diferenciación mediante el cual pudo determinar los valores máximos y mínimos de una curva polinómica y trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz.

-Fermat es famoso también por los números primos que llevan su nombre, los de la forma 22 ^ n +1. Los primeros números de esta forma: 3, 5, 17, 257, 655537, son primos. El siguiente es ya un número respetable, 4 294 967 297 y no es fácil, usando sólo lápiz y papel, averiguar si es primo o no. De hecho, Fermat no tuvo suficiente paciencia para comprobarlo. Si la hubiera tenido hubiese obtenido (como más tarde hizo Euler) que 4294967297= 641 • 6700417.
Sin embargo tuvo la osadía de conjeturar que todos los números de la forma 22 ^n +1 eran primos.

-El enorme interés de Fermat por los números enteros tubo como consecuencia del interés de Fermat en el primero de esos problemas, Fermat descubrió el que se conoce hoy en día como el Pequeño Teorema de Fermat, una verdadera joya en teoría de números. En términos modernos dice que si p es un número primo y a es primo con p, entonces a p a (mod p).
No deja de ser paradójico que Fermat sea recordado por su Gran Teorema, en gran parte estéril porque ningún resultado importante se deduce de él, y no por su Pequeño Teorema que es crucial en álgebra y en la teoría de números moderna y sus aplicaciones, como es por ejemplo, la moderna criptografía, base de la seguridad de las transmisiones en Internet.

-El segundo problema, la caracterización de las ternas pitagóricas, conduce a Fermat a su interés por las descomposiciones de potencias y problemas como la descomposición de los primos de la forma 4n+1 como suma de dos cuadrados (de manera única), la descomposición de un entero positivo como suma de cuatro cuadrados y la resolución de diferentes ecuaciones diofánticas de segundo grado. La más famosa es la ecuación diofántica conocida como ecuación de Pell o ecuación de Pell-Fermat. Se trata de la ecuación x 2 -N y 2 = 1, donde N no es un cuadrado perfecto.

EN LA ACTUALIDAD :

-La creencia actual es que Fermat había demostrado el teorema para n=4 (y quizás también para n=3) y creía que podía generalizar su demostración para cualquier valor de n. La demostración del caso n=4 utilizaba otro gran descubrimiento de Fermat, el método de descenso infinito.

CUANDO FUE DEMOSTRADO :

-El Gran Teorema de Fermat para el caso n=3 fue demostrado 100 años más tarde por Euler, también con la ayuda del método del descenso infinito.

SE LE ATRIBUYE:

-Se le atribuye la creación de la Geometría analítica (aplicación del álgebra simbólica a la geometría) quien escribió sobre estos temas antes que Descartes hubiera publicado su obra sobre el tema perdiendo la prioridad.

ZENÓN DE ELEA

-Nació entre el 530 a. C. y el 515 a. C.* 1 en la ciudad de Elea, colonia griega del sur de Magna Grecia (Italia).

-Zenón de Elea fue un filósofo y matemático griego nacido en Elea, perteneciente a la escuela eleática (escuela eleática es una enseñanza griega de filosofía

presocrática[La filosofía presocrática es el período de la historia de la filosofía griega])

-Fue discípulo directo de Parménides de Elea y se le recuerda por el amplio arsenal conceptual con que defendió las tesis de su maestro.

-No estableció ni conformó ninguna doctrina positiva de su propia mano, en tanto que todo lo que defiende lo toma de Parménides, sino que se limitó a atacar todo planteamiento que no parta de las tesis eleáticas.

-Zenón escribió un libro en prosa Sobre la naturaleza, orientado a defender la tesis de Parménides

-Diógenes Laercio indica que fue hijo natural de un hombre llamado Telentágoras, pero que Parménides lo tomó en adopción. Laercio subraya así mismo su destreza a la hora de analizar los dos lados de cada cuestión o dilema, capacidad que le hizo recibir el título de “inventor de la dialéctica” de la mano de Aristóteles.

-Es reconocido no sólo por sus paradojas, sino por establecer los debates filosóficos que favorecen la discusión razonada. Por todo ello, Aristóteles le consideró el creador del razonamiento dialéctico

SUS PARADOJAS

Es conocido por sus paradojas o aporías, especialmente aquellas que niegan la existencia del movimiento o la pluralidad del ser.
Zenón, en la línea de su maestro, intenta probar que el ser tiene que ser homogéneo, único y, en consecuencia, que el espacio no está formado por elementos

discontinuos sino que el cosmos o universo entero es una única unidad.

Sus aporías o paradojas están diseñadas bajo los siguientes ejes argumentativos:

1.Contra la pluralidad como estructura de lo real.
2.Contra la validez del espacio.
3.Contra la realidad del movimiento.
4.Contra la realidad del transcurrir del tiempo.

SUS ARGUMENTOS:

Entre sus argumentos mas importantes destacan:

-Argumento del estadio : Un corredor no podrá recorrer una distancia concreta en toda su vida, ya que ésta se descompone en infinitos intervalos sucesivos de longitud, cada uno de los cuales ha de ser recorrido antes de recorrer el siguiente… y sin que nunca se llegue a recorrer el último, pues no lo hay (ya que la sucesión de intervalos es infinita)

-Argumento de la flecha : Es muy similar al anterior argumento.

QUE TRATO DE MOSTRAR :

Zenón trató de mostrar que la realidad es una e invariable y que todo movimiento es ilusorio